MATH-Mathematical Analysis

常用积分和求导公式

分部积分

设函数 $u(x)$ 、 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上具有连续导数，则有 $\int_a^b u \mathrm{d}v = [uv]_a^b -\int_a^b v \mathrm{d}u$ 这个怎么来的:

d uv = du \quad v + u \quad dv \\ \text{然后对两边积分} \\ uv = \int v du + \int u dv

换元公式

假设

$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续
函数 $x=\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上是单值的且有连续导数
当t在区间 $[\alpha,\beta]$ 上变化时， $x=\varphi(t)$ 的值在 $[a,b]$ 上变化，且 $\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta)=b$
则有 $\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)] \varphi^\prime(t) \mathrm{d}t$

首先，黎曼首先提出将可积性和连续性分离。也就是说，他重新定义了积分（不依赖于连续性），并且给出了黎曼可积的充要条件。这就是为什么你所说的定积分称为黎曼积分最重要的原因之一。

其次，黎曼提出了黎曼重排定理。他证明了对于任意实数，存在某个莱布尼兹级数的重排使得新级数收敛于这个实数。

这两个应该是黎曼在微积分方面做出的最主要贡献。当然在分析方面黎曼的贡献远远不止这些。

如果题主对微积分历史有兴趣，可以参看《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》（美）邓纳姆。这本书有中文版，并且对于某些定理还有证明。

作者：等待飞翔

牛顿莱布尼茨的微积分是经验的，方法论的，和级数有密切关系，问题是当时根本不考虑级数是否收敛，要不要说一致收敛了，包括后来的伯努力兄弟，欧拉大神和傅立叶都是拿起级数就用（竟然没出错），拉格朗日甚至把微积分建立在级数基础上。牛顿莱布尼茨的微积分另一个更严重的问题就是无穷小量dx，它就像一个幽灵，既可以直接当作0，又能当分母,既像一个静态的数，又像一个动态变小的过程，微积分这座大厦的基础根本不牢固，这也是拉格朗日当初考虑把级数作为微积分的基础的原因（心疼拉格朗日大神），这种局面直到柯西采用极限作为微积分的基础重新定义微分并且建立级数收敛的概念，然后魏尔斯特拉斯提出一致收敛，黎曼定义定积分，最后勒贝格在康托尔集合论基础上建立勒贝格积分，现代微积分的大厦终于落成。不过我们现在见到的微积分的叙述方式和黎曼不同（现在微积分叙述更接近达布），和柯西也不同，和伯努力欧拉拉格朗日不同，更和牛顿莱布尼茨不相同，但是你都能看到他们的影子。

作者：桔梗

尽快脱离Riemann积分，用Lebesgue积分

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Last updated 5 years ago

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