measure

知识纲要

• 实数不可数（连续随机变量的样本空间就在实数域），可以用vitail sets构造方法（需要基于选择公理，）。

• σ-field，

• 可测集和测度。若是σ-field，则测度就等于各测度之和。构成测度空间。

• 测度和可测函数

Vitali sets

Lebesgue 不可测集的存在性

选择公理 和 Zermelo-Fraenkel Set Theory

选择公理：

对于一个集合族$X=\{ S_i \}, i\in I$（其中I是指标集，可以为有限，可数，或不可数）其成员$S_i$均不为空集，那么存在一个集合$A=\{ x_i \}$，使得$x_i \in S_i, \forall i$.

选择函数：

为了选择公理的表述，一般都会引入下面这个专门为选择公理服务的函数：

$f:X\rightarrow \cup\{ S_i \}$

$S_i\rightarrow f(S_i)$

于是选择公理的后半句就成了：

$\exists f$，使得$\forall i \in I, f(S_i) \in S_i$（这种情况下$A=\{f(S_i)\}$）

选择公理到底是什么?

σ-field

是

Borel algebra

所谓Borel集是指拓扑空间中的开集经过至多可数次的交、并、差运算得到的σ-域中的元素，也可以说成拓扑空间中含开集的最小σ-域中的元素。

Borel集全体的势与实数集一样。

通俗地讲，我们经常遇到的集合基本都是Borel集，区间，单点集，有限点集，可数点集等等。

可测集和测度

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