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  • Vitali sets
  • 选择公理 和 Zermelo-Fraenkel Set Theory
  • σ-field
  • Borel algebra
  • 可测集和测度

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  1. MATH-Mathematical Analysis

measure

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知识纲要

  • 实数不可数（连续随机变量的样本空间就在实数域），可以用vitail sets构造方法（需要基于选择公理，）。

  • σ-field，

  • 可测集和测度。若是σ-field，则测度就等于各测度之和。构成测度空间。

  • 测度和可测函数

Vitali sets

选择公理 和

选择公理：

对于一个集合族X={Si},i∈IX=\{ S_i \}, i\in IX={Si​},i∈I（其中I是指标集，可以为有限，可数，或不可数）其成员SiS_iSi​均不为空集，那么存在一个集合A={xi}A=\{ x_i \}A={xi​}，使得xi∈Si,∀ix_i \in S_i, \forall ixi​∈Si​,∀i.

选择函数：

为了选择公理的表述，一般都会引入下面这个专门为选择公理服务的函数：

f:X→∪{Si}f:X\rightarrow \cup\{ S_i \}f:X→∪{Si​}

Si→f(Si)S_i\rightarrow f(S_i)Si​→f(Si​)

于是选择公理的后半句就成了：

∃f\exists f∃f，使得∀i∈I,f(Si)∈Si\forall i \in I, f(S_i) \in S_i∀i∈I,f(Si​)∈Si​（这种情况下A={f(Si)}A=\{f(S_i)\}A={f(Si​)}）

σ-field

是

Borel algebra

所谓Borel集是指拓扑空间中的开集经过至多可数次的交、并、差运算得到的σ-域中的元素，也可以说成拓扑空间中含开集的最小σ-域中的元素。

Borel集全体的势与实数集一样。

通俗地讲，我们经常遇到的集合基本都是Borel集，区间，单点集，有限点集，可数点集等等。

可测集和测度

d

Lebesgue 不可测集的存在性
Zermelo-Fraenkel Set Theory
选择公理到底是什么?
http://blog.pluskid.org/?p=765
http://blog.pluskid.org/?p=772
https://zhuanlan.zhihu.com/p/23629928
https://zhuanlan.zhihu.com/p/32334499
https://zhuanlan.zhihu.com/p/23977693
https://zhuanlan.zhihu.com/p/27964702
https://zhuanlan.zhihu.com/p/27776420
https://www.zhihu.com/question/30786395
https://www.zhihu.com/question/33991971