# measure

知识纲要

* 实数不可数（连续随机变量的样本空间就在实数域），可以用vitail sets构造方法（需要基于选择公理，）。
* σ-field，
* 可测集和测度。若是σ-field，则测度就等于各测度之和。构成测度空间。
* 测度和可测函数

## Vitali sets

[Lebesgue 不可测集的存在性](https://wenku.baidu.com/view/9a0fc6d149649b6648d7478e.html)

### 选择公理 和 [Zermelo-Fraenkel Set Theory](https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%AD%96%E6%A2%85%E6%B4%9B-%E5%BC%97%E5%85%B0%E5%85%8B%E5%B0%94%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA)

选择公理：

对于一个集合族$$X={ S\_i }, i\in I$$（其中I是指标集，可以为有限，可数，或不可数）其成员$$S\_i$$均不为空集，那么存在一个集合$$A={ x\_i }$$，使得$$x\_i \in S\_i, \forall i$$.

选择函数：

为了选择公理的表述，一般都会引入下面这个专门为选择公理服务的函数：

$$f:X\rightarrow \cup{ S\_i }$$

$$S\_i\rightarrow f(S\_i)$$

于是选择公理的后半句就成了：

$$\exists f$$，使得$$\forall i \in I, f(S\_i) \in S\_i$$（这种情况下$$A={f(S\_i)}$$）

[选择公理到底是什么?](https://www.gitbook.com/book/json0071/svm/edit)

## σ-field

是

### Borel algebra

所谓Borel集是指拓扑空间中的开集经过至多可数次的交、并、差运算得到的σ-域中的元素，也可以说成拓扑空间中含开集的最小σ-域中的元素。

Borel集全体的势与实数集一样。

通俗地讲，我们经常遇到的集合基本都是Borel集，区间，单点集，有限点集，可数点集等等。

## 可测集和测度

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<http://blog.pluskid.org/?p=765>

<http://blog.pluskid.org/?p=772>

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/23629928>

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/32334499>

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/23977693>

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/27964702>

<https://zhuanlan.zhihu.com/p/27776420>

<https://www.zhihu.com/question/30786395>

<https://www.zhihu.com/question/33991971>


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